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数学

【難解】コネクトーム:脳の構造を代数的位相幾何学で理解できることが判明

1: しじみ ★ 2019/02/23(土) 11:48:19.54 ID:CAP_USER

誰も脳の配線図を理解していなかったが、コネクトームと呼ばれる脳の構造を代数的位相幾何学で理解できることが判明した。

人間のコネクトーム(白質の構造で基本的には脳の配線図といってよい)は、脳の異なる部分間をつなぐリンクのネットワークだ。リンクは、灰白質を構成する神経細胞体を接続する神経細胞「軸索」の突起の束である脳の白質によって図式化する。

脳に関する従来の見解では、灰白質が主に情報処理や認知に関与し、白質は脳の異なる部分間で情報を送信している、とされてきた。

白質の構造はあまり理解されてないが、いくつかの高度なプロジェクトによる研究で、コネクトームは当初考えられていたよりもずっと複雑だとわかってきた。人間の脳には、1014のシナプス結合で接続された1010ものニューロンがある。リンク同士の接続を図式化するのはもともと難しい上に、ネットワーク構造が画像解像度に依存するので、さらに難しくなっている。

構造を研究することで、白質は学習や脳の活動調整で重要な役割を果たしている証拠も出てきた。しかし、この役割が構造にどう結び付いているかは正確にはわからない。
https://www.technologyreview.jp/wp-content/uploads/sites/2/2016/08/neural-cycles.jpg

したがって、白質の構造をさまざまなスケールで理解することは神経科学の大きな課題である一方、適切な数学的ツールの欠如が、研究の進展を妨げていた。

しかし今日、この状況は代数的位相幾何学のおかげで変わろうとしている。神経学の研究者が徐々にだが初めて、代数的位相幾何学の価値を理解し始めている。従来、代数的位相幾何学は、空間や形状を分類するための「数学的な探求」だったが、ペンシルベニア大学のアン・サイズモア研究員(準計算機生物学者)などによるチームは、代数的位相幾何学がどのようにコネクトームの理解に革命をもたらすかを示した。

学問的探求において、代数的位相幾何学者は、異なるスケールで位相空間での対称性を見つけるという、試練を設定する。

数学において、対称性とは、視点を変更しても不変であることだ。たとえば正方形は90度回転しても形状が変わらない。これが対称性のひとつのタイプだ。

中でも、コネクトームを理解する上では、さまざまなスケールでも対称性を保つ数学的構造「永続的な相同性」の探求が重要だとわかってきた。

神経学者は、特定の認知機能は、脳全体に分散されているさまざまな神経ノードを利用することにずっと気付いていた。コネクトームプロジェクトの中心的な疑問の1つは、これらのノードが白質でどう接続されているかだ。

神経学者が白質繊維を研究する方法は、繊維の長さに沿って、どう水を拡散するかを観察することだ。拡散経路は、「拡散スペクトルイメージング」によって明らかにでき、白質の構造を理解できる。

詳細に調べるため、サイズモア研究員は8人の健康な成人の脳を測定した。これにより、すべての脳に同じ構造を探せた。チームは特に、聴覚系や視覚系、接触、圧力、疼痛に関する体性感覚システムなど、認知システムに関わる脳の83の異なる領域間のリンクを観察した。

こうして配線図を構築したサイズモア研究者のチームは、構造の研究に代数的位相幾何学の手法を適用することで、いくつかの重要な洞察が生まれた。

まず特定のノードのグループは、グループ内の各ノードが他のすべてのノードに接続された「すべての対全接続している」状態でクリークと呼ばれる構造を形成していることが明らかになった。認知システムのすべては、異なる数のノードを含むのクリークで構成されている。

しかし、分析により、もうひとつの重要な位相構造のグループが明らかになった。この位相構造は「サイクル」と呼ばれる閉じたループで、最初のノードが次のノードに接続し、その次のノードがまた次のノードに接続していき、最後のノードは最初のノードに接続してサイクルが閉じている。

サイクルによって、脳の周りに情報を伝える神経回路が形成され、フィードバックループが、おそらく記憶の形成と動作の制御に作用する。サイズモア研究員は、この分析が、異なるサイズのサイクルの広い範囲を明らかにしたという。

クリークは、大脳皮質のような脳の特定の部分内に存在する傾向があるが、サイクルは、異なる機能を持つ大きく異なる領域を連結しながら、さまざまな領域にまたがって存在する。


https://www.technologyreview.jp/s/6971/how-the-mathematics-of-algebraic-topology-is-revolutionizing-brain-science/
続く)



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引用元:http://anago.2ch.sc/test/read.cgi/scienceplus/1550890099/続きを読む

ミツバチは「ゼロの概念」を理解できる 豪仏研究チームが報告

1: 野良ハムスター ★ 2018/06/15(金) 23:16:36.27 ID:CAP_USER

豪RMIT大学、仏トゥールーズ大学などの研究チームは、ミツバチが「ゼロの概念」を理解できるとする実験結果を報告した。脳のニューロン数が人間と比べて非常に少ないミツバチがゼロという数学的概念を理解できるという今回の発見は、他の多くの生物にもこうした高度な抽象概念を理解できる知能が備わっている可能性があることを示唆している。研究論文は科学誌「Science」に掲載された。

今回の研究を行ったRMIT大学のAdrian Dyer准教授は、「ゼロの概念を理解することは難しく、人間の幼児でも学習によって習得するには数年を要する数学的スキルである」と説明する。

■人間だけではないゼロの概念を理解する生き物

長い間、ゼロの概念を理解する知能は人間だけがもつものと考えられてきたが、最近の研究では、サルや鳥類も同様の知能をもっていることが示されている。そこで今回の研究では、昆虫がゼロの概念を理解できるかどうかを調べる実験を行った。

実験対象としてはミツバチが選ばれた。先行研究では、ミツバチは複雑な技能を他のミツバチから学んだり、同一性や差異といった抽象概念を理解する能力をもっていることが示されている。

実験では、1~4個の黒いマークが描かれた白い四角形の紙を使った。そして例えば、マーク3個の紙とマーク4個の紙、あるいはマーク2個の紙とマーク3個の紙を並べて置き、マークの個数が少ないほうを選んだときには砂糖水の報酬が得られるように条件付けた。

このように条件付けをすると、ミツバチはマークの個数が少ないほうの紙を選ぶようになる。ここまでの学習ではマーク0個の紙、つまり白紙は使わないようにしておき、学習が終わったミツバチに対してはじめて白紙を見せて、その反応を調べた。

その結果、マーク1個以上の紙と白紙を並べて置いた場合には、ミツバチは初見でも白紙の紙のほうを選ぶことが確認されたという。この結果から、紙の上に何のマークもない状態にも関わらず、それが1より少ない数「0」を表していることをミツバチは理解していると研究チームは考えている。

■AIの進化につながる生物の研究

ミツバチの脳のニューロンの数は100万個未満であり、860億個といわれる人間の脳のニューロンに比べると非常に少ない。それでもゼロの概念のような抽象概念を理解できるという今回の実験結果は、数を扱うためには必ずしも大きな脳は必要でないということを示唆している。したがって、こうした知的能力はミツバチ以外の多くの生物にも共通するものである可能性がある。

ミツバチその他の生物がどのようにしてゼロを知覚しているのかを理解することは、人工知能(AI)の研究にも役立つ知見を与えるだろうと考えられている。

例えば、人間が道路を渡るときには周囲を見渡して、接近してくる車やバイクがないことを瞬時に確認する。しかしAIやロボットの分野では、こうした非常に複雑な環境中での運用は難しい開発課題のひとつとなっている。複雑な環境中で意思決定を行うとき、多数の物体が複雑に絡み合っている中でどのようにして「ないこと」を表すのか、という問題である。ミツバチがその小さな脳でゼロを知覚しているらしいという今回の結果は、このような問題をAIに学習させるシンプルで効果的な方法が存在することを示唆していると研究チームは指摘している。

https://news.mynavi.jp/article/20180615-647528/

ミツバチには「ゼロの概念」を理解する能力があるとする実験結果が報告された(出所:RMIT大学)
no title

マークの数が少ないほうの紙を選ぶことを学習したミツバチは初見でも白紙のほうを選択する(出所:RMIT大学)
https://news.mynavi.jp/article/20180615-647528/images/002.jpg

論文
http://science.sciencemag.org/content/360/6393/1124



引用元:http://anago.2ch.sc/test/read.cgi/scienceplus/1529072196/続きを読む

人間の脳の構造は最大11次元 代数的位相幾何学を用いた分析結果(スイス研究)

1: 野良ハムスター ★ 2018/04/25(水) 09:57:07.99 ID:CAP_USER

昨年、既存の数学(代数的位相幾何学)を新しい手法で用いて、脳の構造を覗き見るという試みがなされた。そして判明したのは、脳は最大11次元で機能する多次元幾何学的構造を作り出せるということだ。

我々は3次元の視点で世界を考えることに慣れているため、あまりピンとこないことだろう。しかし、この研究結果が、我々が知る最も複雑な構造である人の脳を理解する上で次なる大きな飛躍になるかもしれない。

■代数的位相幾何学を用いて脳の構造を分析

この脳モデルは、スーパーコンピューターで人間の脳を再構築することを目的とするスイスの研究イニシアチブ「ブルー・ブレイン・プロジェクト(Blue Brain Project)」のチームによって作られた。

チームが用いたのは、代数的位相幾何学という物体や空間の性質をその変化にかかわりなく記述するために使われる数学だ。

その結果、神経細胞の集団が結合されて”クリーク(clique/小集団)”になること、ならびにクリークの神経細胞の数は高次元幾何的対象(high-dimensional geometric object/数学的次元の概念で、時空のものではない)としてのサイズを決めるということが分かった。

「想像したこともない世界が見つかりました」と研究チームのリーダーであるEPFL研究所のヘンリー・マークラム氏は話す。

「ほんの小さな脳の小片にすら、7次元にも達する対象が数千万もあります。一部のネットワークでは最大11次元もの構造すら発見されました」

はっきりさせておくと、これは空間の次元のことではない。そうではなく、神経細胞クリークの結合のされ方を究明するための、見方のことを言っている。

ネットワークは、網羅的に結合されたノード集合(クリークと呼ばれる)の観点から分析されることがよくある。そしてクリークの中の神経細胞の数がその大きさ、より正式に言うなら次元を決める。論文ではそう説明されている。

>>2につづく
http://karapaia.com/archives/52258715.html

image credit:the Blue Brain Project
no title


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高校数学での統計学必修化は間違っている? まったく異なる原理を持つ「数学」と「統計学」

1: しじみ ★ 2018/03/06(火) 17:30:50.98 ID:CAP_USER

2022年度から施行される新指導要領の案が公開され、高校の数学教育に携わる人々に激震が走っている。
最も衝撃的なのは、統計学が数学B(高校2年、理文共通)において事実上必修化され、
その割を食ってベクトルが数学C(高校3年、理系のみ)にはね飛ばされる、という変更点だ。
数学Bで必修化される統計学とは、「仮説検定」や「区間推定」などの「統計的推定」と呼ばれる方法論である。
これは小学校や中学校の統計の授業では学ばない、統計学の核心といって良い部分だ。
これまで普通は大学に入ってから学ぶものだった。

 これについて、批判点は二つある。第一は、ベクトルが理系のみの学習で良いのか、という点。
第二は、統計学を数学で必修化するのは正しいか、という点。
筆者の意見では、第二の点は大問題であり、その意味で第一の点にも批判的とならざるを得ない。

■数学は「演繹的」、統計学は「帰納的」

 ベクトルというのは、2次元や3次元の数を扱う代数の方法論だ。
確かに、経済学でもベクトルは必須の道具であるから、文系も学習したほうがいいという意見には同意できる。
しかし、ベクトルの計算自体は、そんなに難しいものではなく、
大学生になってから教わっても障壁が大きいわけではない。
むしろ、文系の高校生が数学という抽象的分野の中で教わるより、大学の経済学において、
経済現象という具体的なモデルをもって教わるほうがイメージよく理解できるように思える。

 だから、文系にとってもっと有益な分野があるなら、ベクトルを排除しても仕方ないが、
統計学にはその価値はない。なぜなら、統計学は決して数学ではないからだ。

 数学は「演繹(えんえき)的」な理論である。
これは、仮定から結論を、数理論理(「かつ」「または」「ならば」「でない」「すべて」「存在する」から展開される論理)だけで導く学問である。
だから、数学で証明された法則(定理)は常に正しい(真である)。
たとえ話で言えば、「すべてのカラスは黒い」を前提として、「だから、このカラスは黒い」を導くのが「演繹」である。

 かたや、統計学は「帰納的」な理論である。
これは、観測された現象から「たぶんこうだろう」という推論を導く技術だ。
言い換えると、経験的な推論を行う理論である。
カラスのたとえで言えば、「これまで見たカラスは黒かった」を前提として、
「だからきっと、カラスというのはみんな黒いのだろう」という推論を行うのが「帰納」である。
したがって、統計学の結論では間違い(偽であること)が必然的に起きる。

 このように数学と統計学は全く異なる性質の論理なのである。

続きはソースで

関連ソース画像
http://img.chess443.net/S2010/upload/2018022700003_1.jpg

WEBRONZA - 朝日新聞社の言論サイト
http://webronza.asahi.com/science/articles/2018022700003.html/


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1/3=0.33333...??

16: 132人目の素数さん 2017/04/03(月) 22:53:53.32 ID:8RWed2UV
1/3=0.33333... 両辺を3倍
1 =0.99999...
は?


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統計学と機械学習を支える数学は全く同じと言える?

1: ノチラ ★ 2017/12/23(土) 20:36:54.90 ID:CAP_USER

中略
「ITと統計学の素晴らしき結婚」で生み出されたもの
では、高校までの数学教育はどのようにすればよいのでしょうか?

私の個人的な考え方は「統計学と機械学習の専門的な勉強がはじめられることをゴールとして、高校までの数学のカリキュラムは再編成されるべきである」というものです。

統計学に加えてここで突然機械学習の話が登場したことに驚いた方もいらっしゃるかもしれません。「統計学と機械学習」あるいは「統計学と人工知能」と言われると、多くの人がなんだか全く別のもののように感じるはずです。しかし、実はその背景にある数学的な道具立ては「全く一緒」と言っても過言ではありません。

初代『統計学が最強の学問である』では、この20年ほどで統計学がとんでもなくパワフルになった理由として「ITと統計学の素晴らしき結婚」という表現をしました。多くの人が大学の教養課程で習う「紙とペンの統計学」が、コンピューターサイエンスという強力な伴侶を得たことにより、現実的な問題の意思決定に際して大きな力を持つようになったわけです。しかし、この結婚によって生まれたのは「現代的な統計学」だけではありません。もう1つ「現代的な人工知能」というとてもパワフルな兄弟をも産み落としました。

1950年代にはじめて「人工知能」という言葉が使われるようになってからの第一次人工知能ブーム、そして1980年代の第二次ブームのそれぞれで、人工知能研究の主流は「コンピューターに人間の持つ論理や知識を教え込むことで知能を生み出せるのではないか?」という考え方でした。当時のこうした考え方に基づき書かれた人工知能研究の論文や書籍を見てみると、そのほとんどは記号論理学のような話ばかりが記述されており、統計学とは全く別の分野であると言えます。ただし、こうした「人間がコンピューターに論理と知識を教え込む」というやり方は行き詰まりを見せ、これら二度の人工知能ブームは廃ってどちらも冬の時代を迎えました。

一方で少なくとも1960年代の終わり頃からちらほらと、一部の人工知能の研究者たちは「確率」や「データへのあてはまり」といった統計学の概念を取り入れはじめます。たとえばディープラーニングは専門的には「層の数がとても多い(ディープな)ニューラルネットワーク」であると表現されますが、実は世界に先がけて多層ニューラルネットワークによる画像認識を研究した日本の甘利俊一は、ニューラルネットワークに統計学のような確率や微分といった考え方を持ち込みました。こうした「データとデータの間の最もあてはまりのよい数学的な関係性を推定する」という統計学的な考え方は、現代のディープラーニングの中でも大きく役に立っています。

話をまとめると、「ITと統計学の素晴らしき結婚」によって次の2つがこの世に生み出されたということです。

1つは統計学において、紙とペンの手計算だけでは難しい分析がコンピューターによる計算アルゴリズムで実現できるようになりました。これが「現代的なITによる統計学」です。一方で、コンピューターサイエンスの世界で生まれた人工知能研究においても、記号論理学のような理屈や知識表現だけではうまくいかなかったことが、統計学の理論と計算方法によって実現できるようになりました。このようなクロスオーバーが、現代のデータ社会の中でとても大きな力を発揮しているのです。そしてそれゆえに、統計解析手法と機械学習手法を数学的に記述するやり方は、細かい慣例などの違いこそあれ「基本的に全く同じ」というわけです。違いがあるとすれば数学的な理屈の後の、「どういうアルゴリズムでコンピューターを働かせるか」という部分ぐらいでしょうか。

そうすると、いまエンジニアたちが統計学と機械学習の背後にある数学に慣れておくことは、前述のような品質の向上や、生産計画の最適化に使うという以上の意味を持ちます。蒸気やガソリンを使ったエンジンを使いこなすために熱力学を理解するとか、電子部品を使いこなすために電磁気学を理解する、といったのと同じようなレベルで、これからのものづくりにおいてその競争力の少なからぬ割合が、機械学習技術をどう活かすか、というところと関係してくるからです。
http://diamond.jp/articles/-/153736



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15歳女子高生が「フィボナッチ数列は2進数でも美しいのか」を考察 「MATHコン」で日本数学検定協会賞を受賞

1: しじみ ★ 2017/12/28(木) 17:30:49.18 ID:CAP_USER

公益財団法人日本数学検定協会(所在地:東京都台東区、理事長:清水静海)は、
一般財団法人理数教育研究所が主催している「塩野直道記念 第5回『算数・数学の自由研究』作品コンクール」(通称「MATH(マス)コン」)の
優秀賞の1つである日本数学検定協会賞の受賞作品を決定し、2017年12月17日(日)に東京都内で行われた表彰式典で
受賞者を表彰いたしました。
塩野直道記念「算数・数学の自由研究」作品コンクール公式サイト
http://www.rimse.or.jp/research/

■塩野直道記念「算数・数学の自由研究」作品コンクールとは
全国の小学生・中学生・高校生が、日常生活や社会で感じた疑問を算数・数学の力を活用して解決する、
あるいは、算数・数学の学びを発展させて新たな数理的課題を探究するなかで、気づいたことやわかったこと、
自らの解決の方法などをレポートにまとめた作品を応募するコンクールです。
テーマは自由で、毎年さまざまなテーマの自由研究レポートが作品として集まります。

■京都府在住の15歳女子に「日本数学検定協会賞」を授与
本コンクールに協賛している当協会は、応募したすべての作品のなかから、
とくに算数・数学の研究として優れたレポート1作品に優秀賞として「日本数学検定協会賞」を授与します。
今回は、「フィボナッチ数列は2進数でも美しいのか」というテーマで研究した
京都府在住の吉田桃子(>>0�さん(15歳、小中学校9年)に授与いたしました。
受賞した吉田さんは、「私が今回取り組んだテーマは、数学とプログラミングという自分の好きな分野を組み合わせたもので、
研究することはとても楽しかったです。これからも技術を学び、すばらしい賞をいただけたことに恥じないよう、
精進していきたいと思います」と受賞の喜びを語りました。

■フィボナッチ数列を2進数に変換して規則性を探して考察した研究レポート
吉田さんは「自然界に多く存在するフィボナッチ数列とコンピュータを動かす2進数、
対極にあるようなものを組み合わせてみるとどうなるのか」と疑問を持ち、研究課題に設定しました。
フィボナッチ数列とは、最初の二項が1で、
第三項以降がすべて直前の二項の和になっている数列(1、1、2、3、5、8、13…)のことです。
研究では、2進数のフィボナッチ数列を書き出すために自分で計算プログラムを作成し、数列を算出しています。
2進数で表されたフィボナッチ数列を自分でたてた予想をもとに分析し、規則性を見つけ出しました。
さらに、その規則性がなぜ生まれるのかまで考察しています。
この作品は身近なところからテーマを発掘しながらも、
オリジナルの考察を加えて研究の精度を高めたところがたいへん優秀であることから、今回の受賞が決定いたしました。


当協会は、主たる公益事業である「実用数学技能検定(数学検定・算数検定)」の実施のほかに、
今後も広く国民のみなさまに算数・数学を学習する大切さや、楽しさを伝える普及啓発事業を充実させていく所存です。
(※) “吉”は外字の「ツチヨシ」が正式となります。

画像:「日本数学検定協会賞」受賞者の吉田 桃子さん
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公益財団法人 日本数学検定協会
http://www.su-gaku.net/press_release/detail.php?id=51


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