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証明

「ABC予想」証明する論文が来年掲載へ 京大望月教授が証明

1: 七波羅探題 ★ 2020/11/18(水) 22:16:48.00 ID:d5jMecl09

数学の超難問「ABC予想」を京都大数理解析研究所の望月新一教授が証明したとする論文が来年前半、数理研が発行する国際的な数学誌「PRIMS(ピーリムス)」に掲載されることが決まった。ドイツの出版元が16日、特集号として刊行すると発表した。季刊誌のPRIMSは、5本以上の論文が掲載されるのがふつう。しかし、今回の論文は646ページと長大なため、1冊まるまる使う特集号となる。

ABC予想は、数学者を35年間悩ませてきた、足し算とかけ算という数学の根本についての問い。証明されれば数々の未解決問題の解決につながるという。数学のノーベル賞と言われるフィールズ賞級の成果とする意見もある。

望月教授は2012年、ABC予想を証明したとする論文「宇宙際(うちゅうさい)タイヒミュラー理論」をPRIMSに提出した。だが、数学者でさえ「どこが分からないのかさえ分からない」と言うほど難解で、検証は異例の7年半も続いた。PRIMS編集委員会は今年4月、検証が終わったと発表した。

論文の理解者は今も世界で10人ほどしかいないとされる。勉強会が日本や英国で開かれたり、理解者による解説が出版されたりしているが、一部の数学者は「深刻で修正不能な飛躍がある」との姿勢を崩していない。

理解者の一人、英ノッティンガム大のイワン・フェセンコ教授は「望月教授の理論は、現代数学のずっと先を行く革新的な概念だ。正式な出版は非常に重要で、本腰を上げて学ぼうとする数学者が増え、理解が進む可能性がある」と話した。

朝日新聞
https://www.asahi.com/articles/ASNCL5X1TNCKULBJ01J.html?iref=comtop_7_06
2020年11月18日 18時34分



引用元: http://ai.2ch.sc/test/read.cgi/newsplus/1605705408/続きを読む

大学生正答率33%の問題「奇数と偶数を足すと答えはどうなるでしょうか?」

1: 風吹けば名無し 2020/09/15(火) 15:44:01.27 ID:rHVlBjts0

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引用元: http://tomcat.2ch.sc/test/read.cgi/livejupiter/1600152241/続きを読む

世界に1つだけの三角形の組 -抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学の大学院生

1: しじみ ★ 2018/09/15(土) 13:40:29.34 ID:CAP_USER

 慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔(博士課程 3 年)と松村英樹(博士課程 2 年)は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。

 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか?という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

 本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています(すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました)。

 
1.本研究のポイント

・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
 

2.研究背景
 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか?』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか?』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。

 これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』(>>1、2)という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

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<原論文情報>
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675
続く)



引用元:http://anago.2ch.sc/test/read.cgi/scienceplus/1536986429/続きを読む
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